Equilibrio dei corpi

Appunti interattivi di meccanica — simulazioni e teoria

Statica: l'equilibrio dei corpi

La statica è la branca della meccanica che studia i corpi in equilibrio: fermi rispetto a un sistema di riferimento inerziale, con risultante delle forze e dei momenti nulla.

In queste pagine affronterai otto moduli, dai casi elementari (corpo appeso a una fune) fino all'equilibrio del corpo rigido. Ogni modulo è organizzato in quattro parti:

  • Teoria — definizioni, formule, spiegazioni essenziali
  • Simulazione — muovi i cursori o trascina i vettori col mouse: la teoria diventa visibile
  • Esercizi — problemi svolti passo per passo, con formule e calcoli espliciti
  • Quiz — domande a risposta multipla per verificare la comprensione
Σ F = 0  ·  Σ M = 0

Due equazioni vettoriali che, dai tempi di Archimede in poi, hanno spiegato ponti, gru, bilance e — con l'aggiunta della dinamica — l'intero moto dei corpi.

Un percorso storico

La statica è la più antica delle scienze fisiche. Nasce con i problemi concreti dei costruttori — leve, carrucole, pareti che stanno in piedi — e si affina in due millenni fino alla sintesi newtoniana.

Archimede di Siracusa (287 – 212 a.C.)

Fonda la statica come scienza. Nel trattato Sull'equilibrio dei piani enuncia la legge della leva:

F₁ · d₁ = F₂ · d₂

Sua la frase attribuita: «Datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo». Introduce il concetto di baricentro per figure piane e definisce implicitamente il momento di una forza.

Erone di Alessandria (I sec. d.C.)

Nel trattato Meccanica classifica le cinque macchine semplici (leva, verricello, carrucola, cuneo, vite) mostrando come tutte si riducano al principio della leva.

Simon Stevin (1548 – 1620)

Ingegnere e matematico fiammingo. Nel De Beghinselen der Weeghconst (1586) dimostra il parallelogramma delle forze con l'esperimento della "catena di sfere" sul piano inclinato — un ragionamento per assurdo di eleganza rara.

Getta anche le basi della statica dei fluidi (paradosso idrostatico).

Galileo Galilei (1564 – 1642)

Studia sistematicamente il piano inclinato e la scomposizione del peso in componenti parallela e perpendicolare al piano. Nei Discorsi (1638) apre la strada alla dinamica pur restando ancorato a problemi di equilibrio.

Isaac Newton (1642 – 1727)

Nei Principia Mathematica (1687) formula le tre leggi della dinamica: l'equilibrio diventa il caso particolare in cui la risultante è nulla (I e III legge). La statica si trasforma da collezione di principi in corollario della meccanica.

Pierre Varignon (1654 – 1722)

Dimostra il teorema di Varignon: il momento della risultante di più forze concorrenti è uguale alla somma dei momenti delle singole forze. È lo strumento operativo che rende calcolabile ogni sistema piano.

Leonhard Euler (1707 – 1783) e Louis Poinsot (1777 – 1859)

Estendono la statica al corpo rigido tridimensionale. Poinsot introduce il concetto di coppia di forze (due forze uguali, opposte, non allineate) e dimostra che ogni sistema di forze piano è equivalente a una forza più una coppia.

Ogni modulo di questi appunti tocca almeno uno di questi contributi. La leva è di Archimede, il piano inclinato di Galileo, la scomposizione delle forze di Stevin, il momento nasce con Archimede e diventa strumento con Varignon, e sopra tutto governa la seconda legge di Newton nel caso statico.

Argomenti

Corpo appeso a funi

Caso 1 — fune verticale

Un corpo di massa m sospeso a una sola fune verticale: la tensione bilancia il peso.

T = m g

Caso 2 — due funi inclinate

Se le funi formano angoli α e β col soffitto, l'equilibrio dà il sistema:

T₁ cos α = T₂ cos β   (asse x)
T₁ sin α + T₂ sin β = m g   (asse y)

Risolvendo:

T₁ = mg · cos β / sin(α+β)
T₂ = mg · cos α / sin(α+β)
Caso simmetrico (α = β): T = mg / (2 sin α). Più piccolo è l'angolo, più grandi le tensioni — per questo le funi tese quasi orizzontali si spezzano.
Tensione T Peso P
Peso P— N
T₁ (sx)— N
T₂ (dx)— N
✓ Sistema in equilibrio (per costruzione)

Piano orizzontale con attrito

Sul piano orizzontale agiscono: peso P = mg verso il basso, reazione vincolare N verso l'alto, una forza applicata F inclinata di θ, e l'attrito fa.

Equilibrio verticale

N = m g − F sin θ   (θ > 0 verso l'alto)

Equilibrio orizzontale

Il corpo resta fermo finché l'attrito statico bilancia la componente orizzontale:

F cos θ ≤ μₛ · N
Tirando con un angolo verso l'alto si scarica il piano (N diminuisce): esiste un angolo ottimale θ = arctan(μₛ) che minimizza la forza necessaria a mettere in moto il corpo.
P N F applicata fa attrito
P = mg— N
N— N
Fₓ— N
fa attuale— N
fa max = μN— N
—

Piano inclinato

Su un piano inclinato di angolo θ conviene scegliere gli assi parallelo e perpendicolare al piano. Il peso si scompone in:

P∥ = m g sin θ   (lungo il piano, verso il basso)
P⊥ = m g cos θ   ⇒  N = m g cos θ

Condizione di equilibrio

Senza forze esterne, il corpo resta fermo se l'attrito statico riesce a tenere:

tan θ ≤ μₛ   ⇔   θ ≤ θlim = arctan(μₛ)
È il principio del piano inclinato come "macchina semplice": serve meno forza per sollevare un corpo lungo il piano che verticalmente, percorrendo però una distanza maggiore.
P N F fa
P∥— N
P⊥ = N— N
fa richiesto— N
fa attuale— N
fa max = μN— N
θlim—°
—

Forze elastiche — legge di Hooke

Una molla di costante elastica k deformata di Δx esercita una forza di richiamo:

Fel = − k · Δx   (modulo: |Fel| = k |Δx|)

(a) Molla verticale con massa appesa

All'equilibrio, il richiamo elastico bilancia il peso:

k · Δx = m g  ⇒  Δx = m g / k

(b) Molla orizzontale con attrito

Il corpo resta fermo finché la forza elastica non supera l'attrito massimo:

|k · Δx| ≤ μₛ · m g

(c) Molla su piano inclinato (senza attrito)

k · Δx = m g sin θ
La costante k si misura in N/m: dice di quanti newton aumenta la forza elastica per ogni metro di deformazione.
P N Fel fa
—

Momento di una forza

Il momento di una forza F rispetto a un punto O misura la sua capacità di far ruotare il corpo attorno a O:

M = F · d = F · r · sin φ

dove d è il braccio — la distanza perpendicolare dalla retta d'azione di F al punto O — r è la distanza dal punto di applicazione e φ l'angolo tra F e il segmento OP.

Segno del momento

Per convenzione: rotazione antioraria = positiva, oraria = negativa.

M = r × F   (prodotto vettoriale)

Unità di misura

[M] = N · m
Con φ = 90° il braccio coincide con r e il momento è massimo. Con φ = 0° la forza punta verso O: il braccio è nullo e non c'è rotazione.
Il momento M (N·m) ha le stesse dimensioni del lavoro (J = N·m), ma è un vettore perpendicolare al piano di rotazione, mentre il lavoro è uno scalare.

Regola forza, distanza e angolo. Il braccio d è la linea tratteggiata rossa tra O e la retta d'azione di F.

Forza F Braccio d
Forza F— N
Braccio d = r sinφ— m
Momento M— N·m
Verso—

La leva

La leva è una macchina semplice: un'asta rigida che ruota attorno a un punto fisso, il fulcro. Una forza motrice F₁ equilibra una forza resistente F₂.

Condizione di equilibrio

I momenti delle due forze rispetto al fulcro devono essere uguali:

F₁ · d₁ = F₂ · d₂

Il rapporto fra i bracci è il vantaggio meccanico:

VM = d₁ / d₂ = F₂ / F₁

I tre generi di leva

I genere — fulcro tra le due forze (forbici, bilancia, altalena). VM può essere > o < 1.
II genere — resistenza tra fulcro e motrice (carriola, schiaccianoci). VM sempre > 1: vantaggiosa.
III genere — motrice tra fulcro e resistenza (pinzette, avambraccio). VM sempre < 1: svantaggiosa, ma amplifica lo spostamento.

Leva di I genere con d₁ = d₂: è la bilancia a bracci uguali, in equilibrio quando F₁ = F₂.

Scegli il genere di leva e regola la forza motrice e i bracci. F₂ è la resistenza che mantiene l'equilibrio.

F₁ motrice F₂ resistente
M motrice F₁·d₁— N·m
F₂ equilibrio— N
M resistente— N·m
Vantaggio mec.—
✓ Leva in equilibrio

Trave su due appoggi

Una trave orizzontale di lunghezza L poggia su due vincoli: una cerniera in A (blocca traslazione orizzontale e verticale) e un carrello in B (trasmette solo la reazione verticale). Un carico P è applicato a distanza a da A.

Calcolo delle reazioni

Scrivendo l'equilibrio dei momenti rispetto ad A (ΣM_A = 0), la reazione R_A scompare perché ha braccio nullo:

R_B · L = P · a  ⇒  R_B = P · a / L

Dall'equilibrio verticale (ΣF_y = 0):

R_A = P − R_B = P · (L − a) / L
Carico in mezzeria (a = L/2): le reazioni si dividono equamente, R_A = R_B = P/2. Più il carico si avvicina a un appoggio, più quell'appoggio si carica.

Trascina il carico lungo la trave (oppure usa i cursori) e osserva come si ripartiscono le reazioni.

Carico P Reazioni R_A, R_B
Carico P— N
Posizione a— m
R_A cerniera— N
R_B carrello— N
Verifica ΣF—
✓ Equilibrio verificato

Equilibrio del corpo rigido

Un corpo rigido è in equilibrio se e solo se sono soddisfatte tutte e tre le condizioni:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO = 0

Le prime due impediscono la traslazione, la terza la rotazione. L'equazione dei momenti vale per qualsiasi polo O: conviene sceglierlo dove agisce una forza incognita, così quella forza sparisce dall'equazione.

Centro di massa

Il peso totale si considera applicato nel centro di massa G:

xG = Σ(mᵢ xᵢ) / Mtot

Diagramma del corpo libero (DCL)

Per risolvere un problema di equilibrio: 1. isola il corpo · 2. disegna tutte le forze (peso, carichi, reazioni vincolari) · 3. scegli il polo · 4. scrivi le 3 equazioni · 5. risolvi.

Se ΣF = 0 ma ΣM ≠ 0, il centro di massa non accelera ma il corpo ruota: una coppia di forze non equilibrata produce solo rotazione.

Asta incernierata in A. Regola la forza esterna F finché il momento residuo ΣM_A si annulla: allora la rotazione è impedita.

Peso P Forza F Reazione in A
ΣFₓ— N
ΣFᵧ— N
ΣM_A— N·m
R_A vert.— N
H_A oriz.— N
—